Las rotaciones son transformaciones que desde siempre han suscitado mucho interés y, por ello, se han estudiado con profundidad y de modo exhaustivo. Una rotación se define como un movimiento rígido alrededor de un punto fijo. Ese movimiento tiene lugar en algún espacio, que puede ser todo lo abstracto que queramos, pero las rotaciones en el plano están entre las más estudiadas. En la figura de abajo tenemos la rotación de un objeto plano alrededor del punto O = (0,0). La rotación es de 180 grados y se muestran varios pasos intermedios.

PIC

Figura 1: Rotaciones en el plano.

Las ecuaciones que transforman el punto (x1,y1) del plano mediante una rotación de ángulo θ ∈ [0,2π) alrededor del origen O = (0,0) son las siguientes:

(     )   (               ) (     )   (                  )    x2   =    cosθ  - senθ      x1   =   x1 cosθ - y1senθ    y2        sen θ   cosθ       y1       x1 senθ + y1cosθ

(He escrito las ecuaciones porque viene al caso, pero también por su belleza.) Las rotaciones pertenecen a la clase de las isometrías, que son las transformaciones que no cambian la distancias entre los puntos. Esto viene a decir que si la distancia entre dos puntos antes y después de aplicar la rotación es la misma.

Una pregunta inmediata es por qué las rotaciones en el plano se han investigado tanto. Ciertamente, nos resultan familiares. Nuestras extremidades pueden rotarse en cierto grado, la cabeza, los ojos; manipulamos muchos objetos con las manos y les aplicamos rotaciones; también las usamos para cambiar el sentido de la marcha. La psicología de la forma o psicología Gestalt puede explicar esa familiaridad. Esta teoría psicológica surgió para explicar los mecanismos de la percepción. La teoría se articula en torno a una serie de leyes o principios que explican los procesos organizativos de la percepción. Entre esos principios se cuentan el de invariancia, que establece que elementos geométricos simples se perciben como iguales o semejantes si son el producto de rotaciones, traslaciones o simetrías. También está el principio de semejanza, que agrupa objetos semejantes si son similares. Estos principios explican la importancia perceptual de las rotaciones. Las matemáticas se encargaron más tarde de formalizar el concepto de rotación. Dado que la percepción es fundamental, la teoría de la forma ha ejercido una gran influencia en el arte. Véanse [WBS92], [DMM10] y [Lem97] para saber más sobre las relaciones de la psicología de la forma y las artes en general.


SIGUE LEYENDO EL ARTÍCULO AQUÍ.

 

Bibliografía

[Aga06] K. Agawu. Structural analysis or cultural analysis? competing perspectives on the “standard pattern” of west african rhythm. Journal of the American Musicological Society, 59(1):1–46, 2006.

[DBFG+04] Miguel Díaz-Bañez, Giovanna Farigu, Francisco Gómez, David Rappaport, and Godfried T. Toussaint. El compás flamenco: a phylogenetic analysis. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 61–70, Southwestern College, Winfield, Kansas, July 30 - August 1 2004.

[DGMM+08] Erik D. Demaine, Francisco Gomez-Martin, Henk Meijer, David Rappaport, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint, Terry Winograd, and David R. Wood. The distance geometry of music. Computational Geometry: Theory and Application, 2008.

[DMM10] A. Desolneux, L. Moisan, and J.-M. Morel. From Gestalt Theory to Image Analysis: A Probabilistic Approach. Springer, 2010. Reprint of the first 2008 edition.

[GPT09] F. Gómez, Talaskian P., and G.T. Toussaint. Structural properties of euclidean rhythms. Journal of Mathematics and Music, 3:1–14, 2009.

[Lem97] M. Leman. Music, Gestalt, and Computing: Studies in Cognitive and Systematic Musicology. Springer, 1997.

[LJ83] F. Lerdahl and R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983.

[Ort95] Fernando Ortiz. La Clave. Editorial Letras Cubanas, La Habana, Cuba, 1995.

[Pre83] Jeff Pressing. Cognitive isomorphisms between pitch and rhythm in world musics: West Africa, the Balkans and Western tonality. Studies in Music, 17:38–61, 1983.

[Tou02] Godfried T. Toussaint. A mathematical analysis of African, Brazilian, and Cuban clave rhythms. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 157–168, Towson University, Towson, Maryland, U.S.A., July 27-29 2002.

[Uri96] Ed Uribe. The Essence of Afro-Cuban Persussion and Drum Set. Warner Brothers Publications, Miami, Florida, 1996.

[WBS92] C. Wallschlaeger and C. Busic-Snyder. Basic Visual Concepts And Principles For Artists, Architects And Designers Time Exposures. McGraw-Hill Humanities/Social Sciences/Languages, 1992.

Go to top