Este artículo es la segunda parte de la serie sobre medidas matemáticas de síncopa. Esta serie proviene del trabajo Mathematical measures of syncopation, presentado en el congreso BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music, and Science de 2005. Los autores son Andrew Melvin (Buckinghamshire Music Service, Inglaterra), David Rappaport (School of Computing, Queen's University), Godfried Toussaint (School of Computer Science, McGill University) y el autor de esta columna.
1. Medidas de síncopa
Desde el punto de vista matemático, la música se ha formalizado y estudiado mucho, pero parece que han despertado más interés los fenómenos relacionados con la altura del sonido, tales como escalas, acordes y melodía [17, 12, 16, 15, 2, 3, 9], que los relacionados con fenómenos rítmicos. Varios autores han puesto remedio a esta situación con el estudio de fascinantes cuestiones abiertas sobre el ritmo (véase, por ejemplo, [18, 13, 1, 12, 19, 6, 20, 21, 22, 23, 4]). Muy pocos autores, sin embargo, han abordado los muchos problemas que surgen alrededor de la síncopa (véase [11, 14, 8]). Por ejemplo, dados dos ritmos con la misma métrica, ¿cuál es más sincopado? ¿Existe una medida que pueda ordenar un conjunto de ritmos según su grado de síncopa? O ¿existe una medida matemática de síncopa que coincida con la medida humana de la síncopa? En [11], dentro del contexto de una teoría sobre el ritmo y la métrica, Johnson-Laird estudia la síncopa desde un punto de vista cualitativo, pero no describe una medida de síncopa para ritmos. La síncopa se ha estudiado en el contexto de los modelos de inducción de pulsos [8]. En el capítulo final de [12], Keith considera el problema de definir una medida matemática de síncopa y da una definición basada en combinatoria. Asimismo, en [23] se presenta una medida de preferencia para música africana del área subsahariana, la llamada medida de contratiempo, que se basa en teoría de grupos. La medida de contratiempo no solo parece ser una buena medida de preferencia, sino que también puede servir como medida de síncopa. El índice de asimetría rítmica [1, 5, 6] puede considerarse también como una aproximación a un medida de síncopa. Se basa en la partición de ritmos con ciertas propiedades. En este trabajo definimos una nueva medida de síncopa que no está basada ni en combinatoria ni en teoría de grupos, sino en el concepto de duración de distancia entre notas. En las siguientes secciones revisaremos medidas de síncopa definidas por otros autores e introduciremos la medida de la distancia ponderada de nota a parte.
1.1. Índice de asimetría rítmica
Simha Arom [1] descubrió que los pigmeos aka usan ritmos que tienen lo que él llama la propiedad de asimetría rítmica [6, 5]. Un ritmo con un tramo temporal consistente en un número par de unidades de tiempo tiene la propiedad de asimetría rítmica si no hay dos notas que partan el ciclo (el tramo temporal entero) en dos subintervalos de igual longitud. Tal partición se llama un bipartición igual. Nótese que la propiedad de asimetría rítmica se define solo para tramos temporales de longitud par. Para tramos de longitud impar todos los ritmos tiene esa propiedad, lo que desprovee a la medida de todo interés. Aunque limitada, esta propiedad es un primer paso hacia una definición matemática de síncopa. Desafortunadamente, la capacidad de esta propiedad de discriminar ritmos según la síncopa es su mayor limitación. Considérese, por ejemplo, las diez ritmos de clave de campana de la música del África del Oeste y del Sur; estas claves están formadas por siete notas en un tramo temporal de doce unidades, con cinco intervalos de longitud dos y dos intervalos de longitud uno (véase [21] para más detalles). Los diez ritmos y sus vectores de intervalos son:
| Ritmo | Vector de intervalos | Partitura |
| Soli | (2 2 2 2 1 2 1) |  |
| Tambú | (2 2 2 1 2 2 1) |  |
| Bembé | (2 2 1 2 2 2 1) |  |
| Bembé-2 | (1 2 2 1 2 2 2) |  |
| Yoruba | (2 2 1 2 2 1 2) |  |
| Tonada | (2 1 2 1 2 2 2) |  |
| Asaadua | (2 2 2 1 2 1 2) |  |
| Sorsonet | (1 1 2 2 2 2 2) |  |
| Bemba | (2 1 2 2 2 1 2) |  |
| Ashanti | (2 1 2 2 1 2 2) |  |
Figura 1: Vector de intervalos para algunas claves africanas para campanas.
Estos diez ritmos se obtienen a partir de rotaciones adecuadas de tres patrones canónicos (de nuevo, véase [21]) . Estos ritmos pertenecen a un conjunto más general de ritmos, que en total son veintiuno. La propiedad de asimetría no aparece en ninguno de ellos. Aún más, entre los diez ritmos usados aquí, algunos son más sincopados que otros, pero la propiedad de asimetría rítmica no capta esa diferencia.
Toussaint [21] propuso una generalización de esta propiedad que tenía más capacidad de discriminación. Originalmente, Simha Arom [1] definió la propiedad de asimetría rítmica de una manera estrictamente dicotómica, blanco o negro, todo o nada, esto es, el ritmo o tiene la propiedad o no la tiene. Este concepto se puede generalizar a una variable que tome más valores y que mida la cantidad de asimetría rítmica que un ritmo posee. Esta variable de asimetría rítmica se define como el número de biparticiones iguales que admite un ritmo. Cuantas menos biparticiones un ritmo admita, más asimetría rítmica tendrá.
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Bibliografía
[1] Arom, S.; African Polyphony and Polyrhythm, Cambridge University Press, England, 1991.
[2] Assayag, G.; Fiechtinger, H-G.; Rodrigues, J. F. (editors); Mathematics and Music, Springer-Verlag, 2002.
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[4] Díaz-Báñez, J. M.; Farigu, G.; Gómez, F.; Rappaport, D.; G. T. Toussaint; El Compás Flamenco: A Phylogenetic Analysis, Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music, and Science, Winfield, Kansas, 61-70, July, 2004.
[5] Chemillier, M.; Ethnomusicology, ethnomathematics. The logic underlying orally transmitted artistic practices, in G. Assayag, H. G. Feichtinger and J. F. Rodrigues, editors of Mathematics and Music, pp. 161-183, Springer-Verlag, 2002.
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[9] Fauvel, J.; Flood, R.; Wilson; R. (editors); Music and Mathematics: From Pythagoras to Fractals, Oxford University Press, Oxford, 2003.
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[14] Longuet-Higgins, H.C. and Lee, C.S.; The rhythmic interpretation of monophonic music, Music Perception, 1:424-441, 1984.
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[22] Toussaint, G. T.; A Comparison of Rhythmic Similarity Measures. Proc. 5th International Conference on Music Information Retrieval, pp. 242-245, Universitat Pompeu y Fabra, Barcelona, 2004.
[23] Toussaint, G. T.; A Mathematical Measure of Preference in African Rhythm. In Abstracts of Papers Presented to the American Mathematical Society, volumen 25, pp. 248, Phoenix, Arizona, January, 2004. American Mathematical Society.
[24] Wiggins, T.; Techniques of variation and concepts of musical understanding in Northern Ghana, British Journal of Ethnomusicology, 7:117–142, 1998.
