Del máximo común divisor y su enseñanza

Detalles
Visto: 38808
Imprimir

INTRODUCCIÓN

Los números enteros siempre me han fascinado. Son altos y espigados, en medio de sus hermanos racionales; algo orgullosos cuando miran a sus numerosísimos primos hermanos, los irracionales, que medran por doquier. Me fascinan las relaciones entre los números enteros: la divisibilidad, los números primos, el máximo común divisor, la aritmética modular, y tantas otras. Las relaciones entre los números cantan, suben y bajan, brillan y se agazapan... Me posterno ante ellas... Hay relaciones entre números que son tan bellas... Las amo, las chupo, me las adhiero, las acaricio, las apercollo, las engarrafo, las licúo, me las unto... Amo tanto esas relaciones misteriosas, juguetonas, reconfortantes... Las inesperadas... Sí, esas, las que glotonamente se esperan, te acechan, hasta que de pronto caen... Caen sobre tu cabeza como un peñasco, como una hacha. Tras el golpe todo lo ves de otra manera... te han hecho comprender... Relaciones entre números que brillan como alas de mariposa, saltan como peces espejados, son roca, ola, rayo, ocaso... Persigo esas relaciones... Son tan hermosas que las quiero grabar todas a fuego en mi mente... Las agarro al vuelo, cuando van zumbando, y las sinuosas, las pétreas, las abismales, las anfractuosas, las infrangibles, las iridiscentes, como flores, como cofres, como bronces, como albores... Y entonces revuelvo unas relaciones con otras, las agito, me las zampo, las trituro, las desnudo, las liberto... Y flotan y revoletean... Y fornican sin cesar y paren nuevas relaciones...

Hoy quiero hablar del máximo común divisor, concepto fundamental de los números enteros. Y si tan fundamental es, lícito es preguntarse cómo se enseña ese concepto en nuestras escuelas. A lo largo de los años he ido observando cómo se lo han enseñado a mi hijo. En parte, estas reflexiones están motivadas por esas observaciones.

 

EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR

El concepto de máximo común divisor es fácil de entender. Por simplificar la exposición supondremos que los enteros son siempre positivos. Dados dos números enteros positivos su máximo común divisor no es más que el mayor de los divisores comunes de ambos números. El máximo común divisor (m.c.d., de aquí en adelante) siempre existe, pues el 1 siempre será un divisor común. El m.c.d. de 0 y un entero positivo es este último.

He aquí un ejemplo de de cálculo del m.c.d. Tomemos 45 y 75. Los divisores de esos números son:

(...cantan, suben y bajan, brillan...) Se observa enseguida que, de los divisores comunes {1, 3, 5, 15}, el mayor es 15 y, por tanto, el m.c.d.(45, 75)=15.

El cálculo del m.c.d. por este método consiste en la enumeración de los divisores de ambos números. Este enfoque es bueno para ilustrar la definición de m.c.d. Se puede usar mientras los números tengan pocos divisores. De hecho, así se lo enseñaron a mi hijo en sexto de primaria. Me parece correcto como una primera aproximación.

El ejemplo anterior no muestra cómo se obtienen los divisores de los números. A falta de más herramientas, el alumno los tiene que comprobar manualmente. Esto permite saltar a otro tema apasionante: los números primos (...las amo, las chupo...). Un número primo es aquel que solo tiene como divisores a sí mismo y al 1, por ejemplo, el 3, el 5, el 7 o el 749027409284729381 (...como peces espejados...) . Todo número puede ponerse como producto de primos, el famoso teorema fundamental de la Aritmética. Sin embargo, ¿cómo se obtiene esa descomposición en producto de factores primos? En secundaria se enseña a los niños a buscar los divisores de un número por prueba y error. Se empieza por el número 2, el primo más pequeño; si el número dado es divisible por 2, ya hemos encontrado un factor primo. En caso contrario, probamos con el 3, el siguiente primo. Si es divisible por 3, hemos encontrado un factor primo. De no ser así, saltamos al siguiente primo. Y así sucesivamente con los demás primos: 5, 7, 11,13, 17, ... Tarde o temprano daremos con todos los factores primos. En nuestro ejemplo de antes, la descomposición en factores primos sería:

45= 32·5

75= 3·52

(...roca, ola, rayo, ocaso...) A la vista de la descomposición en factores primos es fácil darse cuenta de que el m.c.d. estará formado por los factores comunes con el menor exponente. Para 45 y 75, esos factores son 3 y 5. Entonces, m.c.d.(45, 75)=3·5=15. Este método, como dijimos antes, permite relacionar el m.c.d. con la descomposición en factores primos. Sin embargo, no es un buen método para calcular el m.c.d. De hecho, es tan difícil obtener la descomposición en factores primos que los modernos métodos de cifrado de la información se basan en la dureza de dicho problema. Al final del texto se dan más detalles sobre el cifrado mediante la factorización de números primos.

 

EL ALGORITMO DE EUCLIDES

Entiendo una sana práctica de la divisibilidad a través del cálculo del m.c.d. y la descomposición en factores primos, pero a partir de cierto punto esa práctica se convierte en cálculo árido, cuya única dificultad ya solo estriba en el alto número de cifras y no en la profundidad conceptual. Es en este momento cuando introduciría el algoritmo de Euclides. Permitiría ello mostrar otra luminosa relación en la divisibilidad, aún más simple y fundamental (...las sinuosas, las pétreas...). ¿En qué consiste el algoritmo de Euclides? (...las agito, me las zampo...)

Euclides observó la división entera de dos números a, b, con a>b. La división entre a y b -razonaba Euclides- es una relación entre dos enteros a y b como sigue:

a=b·c+r

donde c es el cociente de dividir a entre b y r el resto. El resto r cuenta con la propiedad de que es mayor o igual que cero y menor que b. La idea profunda de Euclides fue darse cuenta de que, a causa de esa relación, todo divisor común de a y b lo es también de r. Basta dividir la relación anterior por un divisor común de a y b para ver que es así. Y en consecuencia:

m.c.d.(a, b)=m.c.d.(b, r)

No hay por qué pararse en b y r; se puede aplicar la misma idea a b y r. De hecho, se puede dividir hasta que ya no podamos. ¿Cuándo ocurre eso? El resto de cada división se hace más pequeño y finalmente llega a cero. Puesto que el m.c.d. de 0 y un entero positivo es este último, el m.c.d. será el divisor de esa última división.

Veamos cómo funciona el algoritmo de Euclides con un ejemplo. Como antes, sean a=75 y b=45. Empezamos dividiendo:

75=45·1 + 30

Aquí 1 es el cociente y 30, el resto. ¿Es el resto nulo? No. Continuamos dividiendo:

45=30·1 + 15

¿Es el resto nulo? No. Continuamos dividiendo:

30=15·2 + 0

¿Es el resto nulo? Sí. Entonces el m.c.d. es el divisor de esta división, esto es, 15. Fijémonos en que 15 es el m.c.d. de 75 y 45, de 45 y 30 y de 30 y 15, tal y como se deduce de la propiedad que Euclides observó. (...las desnudo, las liberto...)

 

LA ENSEÑANZA DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Hemos visto tres métodos de enseñar el m.c.d. El primer método, el más intuitivo, consiste en la pura enumeración de los divisores. Se usa con números pequeños y no es más que la aplicación literal de la definición. Suele ser el método que se enseña en sexto de primaria. Considero que es correcto pedagógicamente utilizar ese método en ese curso.

El segundo método hace uso de la descomposición en factores primos y caracteriza el m.c.d. como el producto de los factores comunes de menor exponente. Este método es un poco más difícil conceptualmente, pues ya establece una relación entre dos propiedades matemáticas. Es adecuado para 1º y 2º de la E.S.O. Esta es la forma de explicarlo que he encontrado en todos los libros de texto de la E.S.O. que he consultado. Este método es adecuado para 1º de la E.S.O. -considero-, pero no para segundo. He visto ejercicios del libro de mi hijo y de otros libros, y se limitan a números muy pequeños y obvios en su descomposición en factores primos (se pueden aplicar las reglas de divisibilidad fácilmente). Para 2º de la E.S.O. enseñaría el algoritmo de Euclides para el cálculo del m.c.d.

Me pregunto cuál es la razón para no enseñar el algoritmo de Euclides. Creo que las siguientes razones apoyan su inclusión en los programas de matemáticas de la E.S.O.

1591=1517·1+74

1517=74·20+37

74=37·2+0

El algoritmo de Euclides también permite hablar de fascinantes aplicaciones. El estudio de las matemáticas debe motivarse desde todos los puntos de vista posibles: por el gusto de razonar, por el placer de resolver problemas, por el desafío hacia nosotros mismos, por el gusto de aplicar un conjunto de reglas formales, por su historia y, ¿por qué no?, por sus aplicaciones. En este sentido, el algoritmo de Euclides es una excelente ejemplo. Nombro algunas de sus numerosísimas aplicaciones sin ánimo de ser exhaustivo:

Para profundizar más en las aplicaciones del algoritmo de Euclides véanse los artículos Si Euclides lo supiese... se sentiría orgulloso... y The Distance Geometry of Music en la sección Para saber más.

Me sorprende también que en los libros de texto de secundaria no hablen de dos útiles relaciones. La primera contesta a la pregunta de cuántos primos hay que probar antes de encontrar el primer factor divisible por el número dado. La respuesta es no más de la raíz del número dado. Mencionar este hecho establecería una relación entre la factorización en primos y la raíz cuadrada. La segunda relación tiene que ver con el mínimo común múltiplo (m.c.m.). Dicha relación es la siguiente:

m.c.d.(a, b)·m.c.m.(a, b)=a·b

Por último, no puedo dejar de expresar mi sorpresa por cómo están escritos los actuales libros de matemáticas. El de mi hijo, Matemáticas 2º E.S.O., de la editorial Santillana, se asemeja a un recetario (eso sí, ¡qué diseño gráfico!). Las definiciones van en bonitos cuadros azul celeste. Después de cada definición, inmediatamente, casi con urgencia, va un ejemplo numérico, pero brillan por su ausencia motivaciones, razonamientos, ilaciones. ¿No hay nada que relacionar entre conceptos y definiciones? ¿No podría incluir el autor alguna frase para hilar la definición del m.c.d. con la descomposición en factores primos? ¿No son capaces de soportar nuestros alumnos muchos razonamientos encadenados? Espero que no sea ésa la razón. Me echaría a llorar. Digo esto porque he observado con muchísima frecuencia que mis alumnos, que son universitarios, tienen una fuerte alergia al razonamiento encadenado. Más de dos razonamientos seguidos les produce un grave sarpullido. ¿De dónde les viene esa alergia? Es un misterio para mí.

Sí, en verdad echo de menos más razonamiento, más concepto, más profundidad, más aplicaciones y menos receta en la enseñanza de las matemáticas. No me explico ese afán repetitivo de los temas. ¿Por qué dar el m.c.d. en sexto de primaria, 1º de la E.S.O. y 2º de la E.S.O., repitiéndolo casi punto por punto? Lo mismo podría decir de los números decimales u otros temas. Irónicamente, el libro de mi hijo tiene 15 temas, cada uno de ellos con una media de 100 ejercicios. Si consideramos que el curso tiene 30 semanas, una vez descontados los días de fiesta y vacaciones, quedan dos semanas por tema. No estoy seguro de que algunos temas se puedan dar a satisfacción en ese tiempo. ¿No es más lógico dar menos y mejor, haciendo más hincapié en el razonamiento?

Digo todo lo anterior sin ánimo de inmiscuirme, sin ánimo de cucharatear el cocido de nadie. Los profesores necesitan apoyo. Las aulas con frecuencia parecen trincheras. Muchos padres han perdido el respeto a los profesores; y eso se nota en el comportamiento de sus hijos. A los niños, las malas actitudes no les entran por un oído y les sale por otro; les entran por un oído y les salen por la boca. Los políticos han hecho de la educación la pocilga donde, como en el cuadro de Goya, se revientan a garrotazos al tiempo que sus administraciones recortan (asesinan) los presupuestos de educación. En medio de todo eso, a veces, no muchas, un profesor puede dar clase. Sin embargo, como profesor de matemáticas estoy profundamente preocupado por su transmisión a todos los niveles y no puedo evitar la crítica constructiva de los programas de matemáticas.

¿Dónde están las relaciones matemáticas que brillaban como alas de mariposa? No ciertamente en la repetición de contenidos año tras año; no ciertamente en la presentación de conceptos sin ilación; no ciertamente en el aprendizaje más o menos mecánico de operaciones. ¿Para cuándo las matemáticas como gusto por el pensar en las aulas?

 

EUCLIDES

Euclides fue un matemático griego que nació alrededor del 300 a.C. Escribió un tratado llamado Elementos, el cual se convirtió en una de las obras más influyentes de la historia de las matemáticas. En esa obra Euclides establece un desarrollo axiomático de la geometría. Euclides abordó en sus Elementos las secciones cónicas, la perspectiva, la geometría esférica y la teoría de números. Describió su algoritmo como un problema de conmesurabilidad de segmentos, esto es, dados dos segmentos como encontrar un tercero que quepa un número exacto de veces en los dos primeros segmentos.

 

LOS NÚMEROS PRIMOS Y EL CIFRADO

El cifrado RSA es el algoritmo más utilizado hoy en día. Fue presentado en 1977 por Ron Rivest, Adi Shamir y Len Adleman, del Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT). Este cifrado está basado en el problema de factorización de números primos. El cifrado RSA, a grandes rasgos, funciona de la siguiente manera. Un mensaje se envía transforma en un número grande m; este mensaje se cifra como c=m^e (mod n) , donde e es la clave pública. El mensaje se descifra calculando m=c^d (mod n), donde d es la clave privada. Obviamente, para que el cifrado sea correcto los números e y d han de verificar la relación:

d·e mod n =1

Aquí entra el algoritmo de Euclides porque los inversos modulares se pueden hallar fácilmente usando una versión ampliada de dicho algoritmo (el teorema de Bezout). El número n, que es el módulo para ambas claves, es el producto de dos primos p y q de longitudes parecidas. Aquí es donde se usa que el problema de factorizar un número es muy difícil computacionalmente hablando.

 

PARA SABER MÁS

Sobre el algoritmo de Euclides:

Sobre Euclides:

Sobre las aplicaciones del algoritmo de Euclides:

Sobre los métodos cifrados basados en números primos:

Música y el algoritmo de Euclides: