Uno de los conceptos fundamentales con que enseguida nos topamos en matemáticas es el de distancia. La distancia matemática no es más que la abstracción del concepto de cercanía y su cuantificación. Ambas, abstracción y cuantificación, son necesarias para objetivar muchos fenómenos que se encuentran en la práctica matemática. Inicialmente, la distancia se refería al término físico de medir una magnitud física. Pero pronto los matemáticos la aplicaron a otros muchos dominios fuera de la física. En este artículo vamos a examinar el concepto de distancia en el campo de la música, en particular, en el campo de la similitud melódica. Veremos que la formalización del concepto de distancia de similitud melódica implica dificultades que hay que tratar con sumo cuidado, siendo la validación perceptual probablemente la de más envergadura.

La generalización de la distancia física en matemáticas recibe el nombre de métrica, especialmente en geometría. Nosotros usaremos ambos términos como sinónimos. Dado un conjunto A, que puede ser lo abstracto y arbitrario que se quiera, una métrica es una aplicación d : A × A → [0,∞), que verifica las siguientes propiedades:

  1. Positividad de la métrica: d(x,y) ≥ 0, para todo par x,yA
  2. d(x,y) = 0 si y solo si x = y.
  3. Simetría: d(x,y) = d(y,x).
  4. Desigualdad triangular: d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z).

 


 

 

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